Родился 28 февраля 1955 года в посёлке Гигант Сальского района Ростовской области. После окончания средней школы поступил в Ростовский техникум железнодорожного транспорта по специальности «Энергетическое хозяйство».

С 1974 по 1976 годы служил в Советской Армии, в Венгрии, в Южной Группе войск, роте радиотехнической разведки.  После армии побывал в разных краях страны: в Казахстане, в Азербайджане, в Армении и на Украине. Работал мастером, прорабом, энергетиком. Затем Алексея Ивановича снова потянуло в родные края. По возвращении он переехал в г. Сальск, устроился на работу в «Ростгосэнергонадзор» инженером энергетической службы. В настоящее время работает начальником электротехнического участка.

С 1986 года  становится внештатным корреспондентом газеты «Сальская степь».  В 2007 году становится Членом Союза писателей России. С 2009 года - член правления Ростовского регионального отделения Союза писателей России (РРО СП России), председатель секции прозы, член редакционных Советов газеты «Донской писатель» и журнала «Дон новый».

Алексей Глазунов начал писать стихи с 16 лет. Поэтический дебют молодого поэта состоялся в 1983 году на страницах областной газеты «Комсомолец» (ныне «Наше время»). Затем стихотворения молодого поэта появились в областной газете «Молот», в журнале «Дон» и альманахе «Южная звезда».

В 1996 году вышла в свет первая книга Алексея Глазунова «В ожидании высоты». В неё вошло более 100 стихотворений, в которых автор ярко выразил любовь к родной природе, преданность отчей земле. В 2000 году вышла в свет вторая книга Алексея Глазунова «На грешной земле». Третья книга «Журавлик» вышла в 2005 году. В 2008 году вышла в свет четвертая книга «Вдвоем». В 2010 году вышла в свет пятая книга «Чертополох». «Узел» шестая книга вышла в свет в 2014 году, а также  седьмой сборник «Степные тропки». Восьмая книга «Чудаки»  2015 год. В 2020 году вышла книга очерков «О друзьях и кумирах». Это наблюдения и размышления о творческих людях. О художниках, поэтах, учителях, музыкантах... В 2022 году вышел поэтический сборник стихотворений «Родник». В него вошли стихи разных лет.

Творчество Глазунова Алексея Ивановича направлено на добро, на положительное восприятие жизни. Регулярные выступления со стихами  приносят ему известность.  Выступает со своими произведениями на сайте  Союза писателей России (http://donpisatel.ru/ndl/464/), получая отклики на опубликованные произведения. И всюду – слова благодарности за творческую деятельность. Жители города Сальска всегда рады встретиться  с писателем, который является гордостью нашего города, гордостью степного края.